Si el polinomio P tiene coeficientes reales, y si el numero complejo Z es un cero de P, entonces su complejo conjugado Z es tambien un cero de P.
Ej. Escribe un polinomio de grado 3 cuyos ceros son 1, -5, y 6
x = 1 / x - 1
x = -5 / x + 5
x = 6 / x - 6
--------------------------------------
(x - 1)(x + 5)(x - 6)
(x^2 + 4x - 5)(x - 6)
x^3 - 6x^2 + 4x^2 - 24x - 5x +30
________________________
x^3 - 2x^2 - 29x + 30
________________________
-El numero de ceros reales positivos es igual al numero de variaciones en el signo de los coeficientes diferentes de cero f(x).
-El numero de ceros reales es igual al numero de variaciones en signos de los coeficientes diferentes de cero f(x).
Ejemplo: f(x)= x^3 + x^2 - 10x + 8
f(-x)= (-x)^3 + (-x)^2 - 10(-x) + 8
p/q = P(factores del ultimo termino); Q( factores del primer termino)
p= (+ o -) 1, (+ o -) 2, (+ o -) 4, (+ o -) 8
q= (+ o -) 1
Los posibles ceros de una funcion son: 1,2,4,8
*sea P un polinomio con coeficiente real:
-si se divide P(x) entre x-b(con b>0) por medio de la division sintetica y el residuo es cero, entonces b es un cero de la funcion.
En este caso se realiza la Division Sintetica.
El resultado seria: f(x) = (x-1)(x-2)(x+4)
*Teorema fundamental del algebra:
-todo polinomio:
p(x)=An^xn + Aan-1X^n-1 +....A1x +Ao
-donde:
n>_1, An =/ 0
*Teorema de la factorizacion completa:
Si p(x) es un polinomio de grado n>_ 1, entonces existen numeros complejos a, C1, C2....Cn con a=/ 0 tal que:
p(x)= a (x- C1) (x-C2)....(x-Cn)
Ejemplo:
f(x)= X^3+ X^2 +9x+9
=X^2(x+1) + 9(x+1)
=(x+1) (X^2 +9)
X^2 + 9=0
Raiz cuadrada de X^2= +- raiz de 9
x=+- 3i
x=3i=> x-3i
x=-3i=> x+3i
f(x)= (x+1) (x+3i) (x-3i)
.Teorema de la factorizacion completa.
si P(x) es un polinomio de grado N es mayor que 0, entonces existen numeros complejos: A, C1,C2
(con A no es igual a 0).
P(x) es A(x-C1)(x-C2)...(x-Cn)
Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos. Si el factor x-c aparece K veces en la factorizacion completa del polinomio P(x), decimo que C es un cero de multiplidad K.
Para cada funcion Polinomial:
1. Halle las raices.
2. Halle el intercepto en y. (x=0)
3. Determine los intervalos donde la grafica esta sobre el eje de x.
4. Determine los intervalos donde la grafica esta debajo del eje de x. (tabla de signos)
5. Trace un bosquejo de la f.
f(x)= anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a0
Donde an, an … a1 son números reales y n es un entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los números reales. Una función polinomial es una cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial en una variable.
Ej:
1. f(x)= 3x4 -2x3 + 8x2 + 7x + 1
2. f(x)= -6x3 -2x + 1
3. f(x)= x5 -3x2 + 1
Grafica de una función Polinomial
Funcion Polinomial
f(x)= x3 –x
f(x)= x (x2 -x)
f(x)= x (x+1)(x-1)
0= x (x+1)(x-1)
x1= 0 x2= -1 x3= 1
Tabla de valores
Grafica
Grafica de una funcion polinomial
Grado del polinomio: n
Multiciplidad par: Grafica
toca el eje de x
Multiplicidad impar: Garfica
Cruza el eje de x
Entre ceros, la grafica puede estar debajo o encima del eje de x: depende del valor del numero intermedio.
Comportamiento terminal para grado impar: si el coeficiente principal es positivo, comienza abajo y termina arriba. Si es negative, comienza arriba y termina abajo.
Comportamiento terminal para grado par: si el coeficiente principal es positivo, comienza arriba y termina arriba. Si es negativo, comienza abajo y termina abajo.
A un tiempo cero (t=0) un clavista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg. desde una plataforma que se encuentra a una ltura de 32 pies sobre el agua.
s(t)=-1/2 gt2+ vot+ so
g=9.8 pies m/s2 --->32pies/s2t= tiempovo= velocidad inicialso= posicion inicial
a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?
s(t)=-1/2(32) t2+16(t)+32s(t)
= -16 t2+16 +32
b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavista?
h=s(t)s(0.5)=-16 (0.5)2+16(0.5) +32s(0.5)
=36hmax
=36 pies
c) Cuanto tiempo le toma al clavista alcanzar la altura maxima?
t=-b/2a
=-1/2(-16)
d)Cuando el clavadista toca el agua?
O=-16 t2= 16 (t)+32
O/-16=-16(t2-t-2)/-16
O=t2-t-2
O=(t+1)(t-2)
t+1=O
t-2=O
t=-1 t=2
t=2seg.
Escoger el resultado positivo
A un tiempo cero (t=0) un clavista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg. desde una plataforma que se encuentra a una ltura de 32 pies sobre el agua.
s(t)=-1/2 gt2+ vot+ so
g=9.8 pies m/s2 --->32pies/s2t= tiempovo= velocidad inicialso= posicion inicial
a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?
s(t)=-1/2(32) t2+16(t)+32s(t)
= -16 t2+16 +32
b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavista?
h=s(t)s(0.5)=-16 (0.5)2+16(0.5) +32s(0.5)
=36hmax
=36 pies
c) Cuanto tiempo le toma al clavista alcanzar la altura maxima?
t=-b/2a
=-1/2(-16)
d)Cuando el clavadista toca el agua?
O=-16 t2= 16 (t)+32
O/-16=-16(t2-t-2)/-16
O=t2-t-2
O=(t+1)(t-2)
t+1=O
t-2=O
t=-1 t=2
t=2seg.
Escoger el resultado positivo
