Matematicos: Gauss, Euler & Galois.

Carl Friedrich Gauss

(30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente y completó su magnum opus, Disquisiciones Aritmética a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

Leonhard Euler,

fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.¹ Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.² Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Évariste Galois

(25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) fue un joven matemático francés.. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, dando una solución a un problema que había permanecido sin resolver. Su trabajo ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre, una rama principal del álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático. La teoría constituye una de la bases matemáticas de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los Sistemas de navegación por satélite, como GPS, GLONASS, etc.

Teorema de ceros conjugados

Si el polinomio P tiene coeficientes reales, y si el numero complejo Z es un cero de P, entonces su complejo conjugado Z es tambien un cero de P.

Ej. Escribe un polinomio de grado 3 cuyos ceros son 1, -5, y 6

x = 1 / x - 1

x = -5 / x + 5

x = 6 / x - 6

--------------------------------------

(x - 1)(x + 5)(x - 6)

(x^2 + 4x - 5)(x - 6)

x^3 - 6x^2 + 4x^2 - 24x - 5x +30

________________________

x^3 - 2x^2 - 29x + 30

________________________

Regla de los Signos de Descartes:

-El numero de ceros reales positivos es igual al numero de variaciones en el signo de los coeficientes diferentes de cero f(x).
-El numero de ceros reales es igual al numero de variaciones en signos de los coeficientes diferentes de cero f(x).


Ejemplo: f(x)= x^3 + x^2 - 10x + 8
f(-x)= (-x)^3 + (-x)^2 - 10(-x) + 8

p/q = P(factores del ultimo termino); Q( factores del primer termino)
p= (+ o -) 1, (+ o -) 2, (+ o -) 4, (+ o -) 8
q= (+ o -) 1


Los posibles ceros de una funcion son: 1,2,4,8


*sea P un polinomio con coeficiente real:
-si se divide P(x) entre x-b(con b>0) por medio de la division sintetica y el residuo es cero, entonces b es un cero de la funcion.


En este caso se realiza la Division Sintetica.

El resultado seria: f(x) = (x-1)(x-2)(x+4)

Ceros Complejos y El Teorema Fundamental del Algebra

*Teorema fundamental del algebra:
-todo polinomio:
p(x)=An^xn + Aan-1X^n-1 +....A1x +Ao
-donde:
n>_1, An =/ 0

*Teorema de la factorizacion completa:
Si p(x) es un polinomio de grado n>_ 1, entonces existen numeros complejos a, C1, C2....Cn con a=/ 0 tal que:

p(x)= a (x- C1) (x-C2)....(x-Cn)

Ejemplo:
f(x)= X^3+ X^2 +9x+9
=X^2(x+1) + 9(x+1)
=(x+1) (X^2 +9)

X^2 + 9=0

Raiz cuadrada de X^2= +- raiz de 9

x=+- 3i


x=3i=> x-3i
x=-3i=> x+3i


f(x)= (x+1) (x+3i) (x-3i)

Funciones Polinomiales

.Teorema de la factorizacion completa.

si P(x) es un polinomio de grado N es mayor que 0, entonces existen numeros complejos: A, C1,C2

(con A no es igual a 0).

P(x) es A(x-C1)(x-C2)...(x-Cn)

Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos. Si el factor x-c aparece K veces en la factorizacion completa del polinomio P(x), decimo que C es un cero de multiplidad K.

Para cada funcion Polinomial:

1. Halle las raices.

2. Halle el intercepto en y. (x=0)

3. Determine los intervalos donde la grafica esta sobre el eje de x.

4. Determine los intervalos donde la grafica esta debajo del eje de x. (tabla de signos)

5. Trace un bosquejo de la f.

Funciones Polinomiales

f(x)= anxⁿ + an_-1x^n-1 + an_-2x^n-2 + … + a₀

Donde a_n, a_n … a₁ son números reales y n es un entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los números reales. Una función polinomial es una cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial en una variable.

Ej:

1. f(x)= 3x⁴ -2x³ + 8x² + 7x + 1

2. f(x)= -6x³ -2x + 1

3. f(x)= x⁵ -3x² + 1

Grafica de una función Polinomial

Funcion Polinomial

f(x)= x³ –x

f(x)= x (x² -x)

f(x)= x (x+1)(x-1)

0= x (x+1)(x-1)

x₁= 0 x₂= -1 x₃= 1

Tabla de signos

Tabla de valores

Grafica

Grafica de una funcion polinomial

 Grado del polinomio: n

 Multiciplidad par: Grafica

toca el eje de x

 Multiplicidad impar: Garfica

Cruza el eje de x

 Entre ceros, la grafica puede estar debajo o encima del eje de x: depende del valor del numero intermedio.

 Comportamiento terminal para grado impar: si el coeficiente principal es positivo, comienza abajo y termina arriba. Si es negative, comienza arriba y termina abajo.

 Comportamiento terminal para grado par: si el coeficiente principal es positivo, comienza arriba y termina arriba. Si es negativo, comienza abajo y termina abajo.