Ley de enfriamiento de Newton

Leyes de los logaritmos

 Los logaritmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logaritmos. Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

Sea "a" un número positivo, con "a" no es igual a 1. Sean m>a, m>0, # cuales quiera entonces.

 

 

 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.                                                                                                                                   

 

 

 

 

 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 

 

                             

 

 

                                                                                                                   
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia. 

 

 

 

                                                                                                 

  

 

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.                                                                                                                                                                           

 

 

 

 

Bases y resultado igual da a 1:                                                                                                                                                

 

 

 

 

 Otras dos propiedades mas:

 

   

 

                                                 
                                                                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                                 

Importante:

                    

Función logarítmica

Debemos recordar que un loraritmo es una forma diferente de un expomente. Así, log a X  es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x .

 ejemplo:  

Comparacion de una función exponencial a una logarítmica:

 

Propiedades de logarítmos:

Propiedades de los logarímos naturales:

Cambio de bases:

Para hacer un cambio de base en un logarimo se divide el numero del logaritmo entre la bases del logaritmo:

Sea a un # positivo con a ≠ 1. La función logarítmica con base a denotaba por log a se define:

Funciones exponenciales Naturales

 

   En la vida y en la naturaleza a donde quiera que vamos no rige las leyes exponenciales. El saber la cantidad de población en el mundo, el como saber como crecen la economía, el saber que tan rápido crecen las bacterias y muchas otras cosas cotidianas de la vida es gracias a las función exponencial natural.

Comúnmente se refiere a esta función como función exponencial.Donde tiene en la base la el número e, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.Está considerado el número por excelencia del cálculo.El número e, al igual que el número  phi ,es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales. Además, es un irracional, no expresable por la la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.

Su valor aproximado (truncado) es:

                  e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

  

    El simple hecho de que la función e^ x coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. 

Modelo de Crecimiento:

    Mediante el uso del numero e podemos calcular el crecimiento de las cosas Se utiliza la formula:

 Como utilizamos esta formula, ejemplos:

El conteo inicial de bacterias en un cultivo es de 500 bacterias. Posteriormente un biólogo hace un conteo de la muestra y encuentra que la taza relativa de crecimiento es de 40 % por hora. Indique la cantidad de bacterias luego de 10 horas.

Una población de ratas en New York esta dada por la siguiente formula d la derecha  donde t es el tiempo en años y la población esta dada en millones desde el 1990.

1) Cual es la taza relativa de crecimiento?

  -un 12 %

2)Cual fue la población en el 1990?

 -54,000,000,000  

3) Cual es la población esperada para el 2025?

 

Calcular el interes compuesto de forma continua:

Ejemplo:

   Si le invierten $10,000 a una taza de interes de 10% por año capitalizados seminalmente. Encuentre el valor de la invensión después del número dado de los siguientes 5 años.

Para calcular esto se utiliza la siguiente formula parecida a la de modelo de crecimiento:

 

 

                                      

·         P-principal

·         r- taza de interés

·         n- número de veces que el interés se compone por año.

·         t- número de años

 

 

 

John Napier ( le papá de los logaritmos)

  John Napier, barón de Merchiston; Merchiston Castle, Escocia, 1550-id., 1617) Matemático y teólogo escocés. Protestante convencido, criticó enconadamente a la Iglesia católica y abogó por la persecución de “papístas, ateos y neutrales” en una carta dirigida al rey, Jacobo I, en la que le dedicaba su obra teológica A plaine Discovery of the whole Revelation of Saint John. A pesar de la notoriedad que le procuraron las más de treinta ediciones de dicha obra, el nombre de Napier había de quedar por siempre ligado al desarrollo de los logaritmos, un método matemático ideado con el objeto de simplificar el cálculo numérico que iba a ejercer una enorme influencia en todos los campos de la matemática aplicada. Napier tardó algo más de veinte años en madurar sus ideas iniciales, que publicó finalmente en 1614. Poco después, el matemático inglés Henry Briggs se desplazó a Escocia y convenció a Napier para modificar la escala inicial usada por éste; nacieron así los logaritmos de base 10, forma en la que se impusieron en toda Europa.

En 1563 entró en la Universidad de St. Andrews, que abandonó cuatro o cinco años después (sin haber conseguido la licenciatura) para emprender un viaje de instrucción por Europa, deteniéndose sobre todo en Alemania y Países Bajos. Vuelto a su patria en 1581, compartió desde entonces su vida entre los estudios, la administración de su patrimonio y los cargos públicos; estos últimos consistieron principalmente en participar en varias delegaciones protestantes enviadas por el rey en busca de apoyo en la lucha contra los católicos.

Vigorosa expresión de esta actitud suya en la lucha religiosa de su tiempo es su obra (publicada en 1593 y traducida después al francés, alemán y holandés) A plaine Discovery of the whole Revelation of Saint John. Más tarde, concentrado su interés en los temas científicos, proyectó máquinas de guerra con vistas a la defensa de la isla británica contra Felipe II de España y sostuvo las propiedades fertilizantes de las sales.

Pero su mayor fama la debe a su obra matemática. Proponiéndose especialmente facilitar las operaciones matemáticas, John Napier inventó los logaritmos (encaminados sobre todo a aliviar el difícil trabajo de los cálculos astronómicos), que dio a conocer en 1614 con el tratado Mirifici logarithmorum canonis descriptio, fruto de un estudio de veinte años. La obra aportó una contribución notabilísima a la simplificación de todos los cálculos; la invención de los logaritmos tiene una importancia que puede ser comparada con la invención de la trigonometría y tal vez superior.

Con los "números artificiales" que introdujo en la ciencia, llamándolos "logaritmos" según el neologismo introducido también por él, Napier redujo todas las operaciones a la suma y a la sustracción. Ya Arquímedes, en la Arenaria, había enunciado una proposición que hoy puede ser expresada diciendo que el producto de dos potencias que tienen por base diez es igual a diez elevado a una potencia que es la suma de los exponentes de dos factores con base diez. Según parece, Napier quiso extender a exponentes no enteros y positivos aquella proposición de Arquímedes. Para ello Napier tenía que admitir que cualquier número puede ser considerado como una potencia de diez con tal de que su exponente sea escogido de conveniente manera. El hipotético exponente que hay que asignar al número para tener un número cualquiera es lo que se llama logaritmo del número. 

El teorema fundamental de la teoría de Napier debía tender a demostrar que a todo número corresponde un logaritmo; sin embargo, el matemático escocés no sólo no lo demostró, sino que ni siquiera enunció ese "teorema de existencia". Llegó por otros caminos a sus propias conclusiones basándose en la comparación entre dos progresiones, geométrica una y aritmética otra, estableciendo el teorema fundamental de la propia teoría y demostrando que si cuatro números forman una proporción geométrica, sus logaritmos constituyen una progresión aritmética.

Las aportaciones de Napier fueron acogidas con entusiasmo por Edward Wright, matemático y cartógrafo, y por Henry Briggs, profesor entonces en Londres y más tarde en Oxford; ambos, habiendo visitado a Napier en 1615, le propusieron la creación de los logaritmos de base 10, y el mismo Napier los calculó para los primeros mil números, publicándolos en 1617. Napier inventó después las reglas que llevan su nombre (expuestas en Rabdologiae seu Numerationis per virgulas libri duo, 1617). Se recuerda también a Napier en la historia de la trigonometría por haber encontrado importantes relaciones entre los elementos de los triángulos planos (teorema de Napier) y entre los de los triángulos esféricos (analogías de Napier).

Funciones exponenciales y logaritmicas

Funciones Exponenciales 4-1

Ejemplos

F(x)= 2Λx

Es una función exponencial con base 2.

Veamos con la rapidez que crece:

F (3)= 2Λ3= 8

F (10)= 2Λ10= 1024

F (30)= 2Λ30= 1, 073, 741, 824

Si se compara con g(x)= xΛ2 donde, g(30)=30Λ2 =90

F (x)= 2Λx

x	F (x)
-2	2Λ-2=1/2 Λ 2= 1/4
-1	2Λ-1=1/2
0	2Λ0= 1
1	2Λ1= 2
2	2Λ2=4

Característica de la función exponencial

F (x)= aΛx cuando a>1

Dominio (-∞, ∞)

Rango (0, ∞)

Tiene asíntota horizontal en el eje de x.

Int. En y es (0,1)

Pasa por los puntos (0,1) (1,a) (-1,1/a)

F (x)=aΛx

0<1<1

DF: (-∞, ∞)

RF: (0, ∞)

Asíntota Horizontal al eje de x

Int en y es (0,1)

Pasa por los puntos (0,1) (1, /a) (-1,1/a)

Funciones Racionales

Una Funcion Racional es una funcion en la forma R(x)=P(x)/Q(x), donde Q(x) es desigual a 0.

-Ejemplos:
1) f(x)=1/x; x desigual a 0.

2) h(x)=1/(x+2); x desigual a -2

3) g(x)=x+8/(x^2-9); x desigual a +-3

Funciones Racionales (Asintotas Horizontales)

R(x) = AnX^n + An-1X^n-1 ... A1X + Ao

------------------------------------------

BmX^m + Bm-1X^m-1 ... B1X + Bo

Las asintotas horizontales se obtienen:

A) Si n es menor que m, entonces R tiene asintota horizontal

Ej. x /(x^2 - 4)

B) Si n es igual a m, entonces R tiene asintota horizontal

Ej. (3x^2)/(6x^2) = 3/6 = 1/2

C)Si n esmayor que m, entonces R no tiene asintota horizontal, tiene asintotas oblicuas