Funciones exponenciales Naturales

 

   En la vida y en la naturaleza a donde quiera que vamos no rige las leyes exponenciales. El saber la cantidad de población en el mundo, el como saber como crecen la economía, el saber que tan rápido crecen las bacterias y muchas otras cosas cotidianas de la vida es gracias a las función exponencial natural.

Comúnmente se refiere a esta función como función exponencial.Donde tiene en la base la el número e, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.Está considerado el número por excelencia del cálculo.El número e, al igual que el número  phi ,es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales. Además, es un irracional, no expresable por la la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.

Su valor aproximado (truncado) es:

                  e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

  

    El simple hecho de que la función e^ x coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. 

Modelo de Crecimiento:

    Mediante el uso del numero e podemos calcular el crecimiento de las cosas Se utiliza la formula:

 Como utilizamos esta formula, ejemplos:

El conteo inicial de bacterias en un cultivo es de 500 bacterias. Posteriormente un biólogo hace un conteo de la muestra y encuentra que la taza relativa de crecimiento es de 40 % por hora. Indique la cantidad de bacterias luego de 10 horas.

Una población de ratas en New York esta dada por la siguiente formula d la derecha  donde t es el tiempo en años y la población esta dada en millones desde el 1990.

1) Cual es la taza relativa de crecimiento?

  -un 12 %

2)Cual fue la población en el 1990?

 -54,000,000,000  

3) Cual es la población esperada para el 2025?

 

Calcular el interes compuesto de forma continua:

Ejemplo:

   Si le invierten $10,000 a una taza de interes de 10% por año capitalizados seminalmente. Encuentre el valor de la invensión después del número dado de los siguientes 5 años.

Para calcular esto se utiliza la siguiente formula parecida a la de modelo de crecimiento:

 

 

                                      

·         P-principal

·         r- taza de interés

·         n- número de veces que el interés se compone por año.

·         t- número de años