Funciones Polinomiales

f(x)= anxⁿ + an_-1x^n-1 + an_-2x^n-2 + … + a₀

Donde a_n, a_n … a₁ son números reales y n es un entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los números reales. Una función polinomial es una cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial en una variable.

Ej:

1. f(x)= 3x⁴ -2x³ + 8x² + 7x + 1

2. f(x)= -6x³ -2x + 1

3. f(x)= x⁵ -3x² + 1

Grafica de una función Polinomial

Funcion Polinomial

f(x)= x³ –x

f(x)= x (x² -x)

f(x)= x (x+1)(x-1)

0= x (x+1)(x-1)

x₁= 0 x₂= -1 x₃= 1

Tabla de signos

Tabla de valores

Grafica

Grafica de una funcion polinomial

 Grado del polinomio: n

 Multiciplidad par: Grafica

toca el eje de x

 Multiplicidad impar: Garfica

Cruza el eje de x

 Entre ceros, la grafica puede estar debajo o encima del eje de x: depende del valor del numero intermedio.

 Comportamiento terminal para grado impar: si el coeficiente principal es positivo, comienza abajo y termina arriba. Si es negative, comienza arriba y termina abajo.

 Comportamiento terminal para grado par: si el coeficiente principal es positivo, comienza arriba y termina arriba. Si es negativo, comienza abajo y termina abajo.

Caida Libre - Funcion de Posicion

A un tiempo cero (t=0) un clavista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg. desde una plataforma que se encuentra a una ltura de 32 pies sobre el agua.

s(t)=-1/2 gt2+ vot+ so

g=9.8 pies m/s2 --->32pies/s2t= tiempovo= velocidad inicialso= posicion inicial

a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?
s(t)=-1/2(32) t2+16(t)+32s(t)
= -16 t2+16 +32

b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavista?
h=s(t)s(0.5)=-16 (0.5)2+16(0.5) +32s(0.5)
=36hmax
=36 pies

c) Cuanto tiempo le toma al clavista alcanzar la altura maxima?
t=-b/2a
=-1/2(-16)

d)Cuando el clavadista toca el agua?
O=-16 t2= 16 (t)+32
O/-16=-16(t2-t-2)/-16
O=t2-t-2
O=(t+1)(t-2)
t+1=O
t-2=O
t=-1 t=2
t=2seg.
Escoger el resultado positivo

Caida Libre - Funcion de Posicion

A un tiempo cero (t=0) un clavista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg. desde una plataforma que se encuentra a una ltura de 32 pies sobre el agua.

s(t)=-1/2 gt2+ vot+ so

g=9.8 pies m/s2 --->32pies/s2t= tiempovo= velocidad inicialso= posicion inicial

a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?
s(t)=-1/2(32) t2+16(t)+32s(t)
= -16 t2+16 +32

b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavista?
h=s(t)s(0.5)=-16 (0.5)2+16(0.5) +32s(0.5)
=36hmax
=36 pies

c) Cuanto tiempo le toma al clavista alcanzar la altura maxima?
t=-b/2a
=-1/2(-16)

d)Cuando el clavadista toca el agua?
O=-16 t2= 16 (t)+32
O/-16=-16(t2-t-2)/-16
O=t2-t-2
O=(t+1)(t-2)
t+1=O
t-2=O
t=-1 t=2
t=2seg.
Escoger el resultado positivo

Formas: General & Estandar.

Forma General:

Forma Estandar:

ambos ejercicios se pueden realizar con las 2 formas, y el resultado sera el mismo.

Funcion Cuadratica

*Se requiere contruir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa. Se cuenta con un rollo de 1,000m de la tela metalica.

*Cual es el area maxima que podemos cercar?

*perimetro de un rectangulo
P=2l = 2w

*area de un rectangulo
A=lw

Ejemplo:

P=2w=l
1000=2w=l
1000-2w=l


A=lw
A=(1000 -2w) W^2
A= 1000m-2w^2

w= -B/2a
=-1000/2(-2)
=-1000/-4
w=250m

l=1000-2(250)
l=500m

Amax= (500)(250)
Amax=125,ooom^2

Funciones Cuadratica

Una funcion cuadratica es una funcion que puede ser escrita en la forma: F(x)= a(x-h)ala 2+k.

La grafica de una funcion cuadratica tiene forma de U y se conoce como una parabola.

vertices de una parabola:

1. Si una parabola abre hacia arriba tiene un punto minimo.

2. Si una parabola abre hacia abajo tiene un punto maximo 3.Este punto mas bajo o mas alto es el vertice de la parabola.

4.La forma del vertice de una funcion cuadratica es F(x)=a(x-h)ala 2+k.

5. El vertice de la parabola es (h,k)

Eje de simetria

.El eje de simetria es la recta que pasa por el vertice de una parabola que divide la parabola en dos mitades congruentes.

.La funcion cuadratica f(x)= a(x-h)ala 2+k tiene como eje de simetria x=h.

Funciones uno a uno y sus inversas

Funciones uno a uno

Una función con Dominio A se conoce como uno a uno.

Si no hay dos elementos de A que tengan el mismo Rango, esto es:

Prueba de la recta horizontal

· Una función es uno a uno si ninguna recta horizontal interseca su gráfica mas de una vez.

· Ejemplo:

Funciones inversas

Las funciones uno a uno son importantes porque tienen funciones inversas:

· Sea f una función uno a uno con Dominio A y Rango B. Entonces su función inversa f ^-1 tiene Dominio B y Rango A esta definida por: