Combinacion de Funciones

En esta seccion sobre funciones se discutira sobre como combinar diferentes funciones para hacer otras. Se utiliza la suma, resta, multiplicacion y division. En esta se unen dos funciones f y g para formar nuevas funciones. Por ejemplo, ( f + g), ( f - g), (fg) o (f / g).


Ejercicio:

f(x) = 2x - 4
g(x) =x - 2

A) (f +g)(x) = 2x - 4 + x - 2 = 3x - 6

B) (f - g)(x) = 2x - 4 - (x - 2) = x - 2

C) (fg)(x) = (2x - 4)(x - 2) = 2x^2 - 8x + 8

D) (f / g)(x) = 2x - 4 / x - 2 = x - 2

Composicion de Funciones

En la combinacion de funciones dadas dos funciones f y g, la funcion compuesta ( f o g) tambien conocida como composicion de f y g es definido por:

A) (f o g) = f (g(x))
B) (g o f) = g(f(x))

Ejemplos:

f(x) = 5x^2 - 3
g(x) = x + 5


A) (f o g) = 5(x + 5)^2 - 3 = 5(x^2 + 10x + 25) - 3 = 5x^2 + 50x + 125 - 3 = 5x^2 + 50x + 122

B) (g o f) = 5x^2 - 3 +5 = 5x^2 + 2

Funciones de Domino Partido

Este tipo de grafica tiene varias funciones, cada una con distintos signos, los cuales te dicen exactamente los valores que tendras que utilizar en la tabla de valores.

Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio

* Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambiantes.

Definición:


*f es creciente en un intervalo/ si f(x1) < f(x2)siempre que x1 < x2 en el intervalo I, x yy crecen.

*f es decreciente en el intervalo/ si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I, x crece, y decrece.

Ejemplo:

Evaluacion de funciones (cociente diferencial)

Hoy aprendimosque en el cálculo existe una expresión muy especial llamada cociente diferencial. Este se utiliza para encontrar los puntos máximos o mínimos en unacurva de una gráfica.Hicimos varios ejemplos por los cuales necesitamos utilizar la formula que esta a continuación donde  h≠0.

Ejemplo:

Acortacion y alargamiento horizontal

La grafica es y=f(x)

* Si c > 1, acorte la grafica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.

* Si 0 < c < 1, alargue la grafica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.

*1/c es igual a cualquier constante.

Ejemplos:

Funciones par e impar

* Sea f una funcion:


*f es par si f(-x)=f(x) para toda x en el dominio de f.


*f es impar si f(-x)=-f(x) para toda x en el dominio de f.


Si el el resultado de la función es igual al ejercicio principal se dice que es par. Pero si el resultado es igual pero con signos diferentes se dice que es impar. Sin embargo, si el resultado es totalmente distinto al ejercicio principal se dice que es una función NO sistemática.


Ejemplos:

Trasformaciones de Funciones

En esta secciónestaremos estudiando como cierta trasformaciones de una función afectan una gráfica.Las trasformaciones son desplazamientos, reflexión, estiramiento yacortamiento.

Desplazamientos Verticales:

Supongaque C > O

-Para gráficar y=f(x)+c, desplaceC unidades hacia arriba de la gráfica de y=f(x).

-Para gráficar y=f(x)-c, desplaceC unidades hacia abajo de la gráfica de y=f(x).

En este ejemplo vemos que y=f(x)se desplaza 3 unidades hacia arriba y -4 unidades hacia abajo de la posición de y=f(x).

Desplazamientos Horizontales:

Supongaque C > O

y=f(x).

-Para gráficar y=f(x)-c, desplacela gráfica de y=f(x) a la derecha C unidades.

-Para gráficar y=f(x)+c, desplacela gráfica de y=f(x) a la izquierda C unidades.

*Respecto a desplazamientos horizontales lossignos no se respetan.Como vemos en la gráfica los signos reflejan su opuesto.

Combinación de desplazamientos:

Aquí se combina desplazamiento horizontal con vertical.

Estiramiento y acortamiento horizontal:

Para graficary=cf(x)

Si C >1, alargue verticalmente la gráficade y=f(x) por un factor de c.

Si 0<C<1,acorte verticalmente la gráfica de y=f(x)por un factor de c.

Alargamiento y Acortamiento horizontal:

Para graficary=f (c x)

Si C >1, acorte la gráfica de y=f(x) horizontalmente por un factor de1/c.

Si C <1, alargue la gráfica de y=f(x) horizontalmente por un factor de1/c.