Geometría Analítica

Ley de Seno:

La ley de senos es una relación de tres igualdades que se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y α,β y γ (minúsculas)son los ángulos del triángulo.

Ley de coseno:

La ley de los Cosenos es un expreción que te permite conocer un lado del triángulo cualquiera, si conoces  los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer . Es relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

 

Ejemplos:
seno:

Coseno:
Se piensa construir un tunel a travez de una montaña. para estimar la longitud del tunel un topografo con las medidas de la figura. Hay que buscar la longitud del tunel.

 

 

 

Suma y resta de angulos

Con estas formulas podemos resolver estos problemas;

Es facil solo hay que poner los valores en la formulas y si tienes la tabla de las funciones trigonometricas de los angulos y radianes  puedes simplififar sin usar una calculadora.

Gráfica de funciones

Aqui podemos ver como se ven el seno,coseno tantente graficado:

Seno:

 

 

coseno:

 

Tangente:

 

 

La peculiaridad de la tangente es que los interceptos en x son infinitos al igual que su amplitud:

 

Identidades basicas y pitagoricas

Identidades pitagóricas: 

Estas identidades son nesesarias saberlas.

Funciones trigonometricas de angulos

Con estas funciones podemos resolver ángulos que no son nesesariamente agudos

Definición de funciones trigonométricas

 

Esto por que el radio es igual a 1 en el circulo unitario.

 

Resover un triangulo rectangulo

Para resolver un triangulo rectangulo por lo general utilizamos el teorema de pitagoras pero tambien podemos utilizar las funciones trigonometricas para resolver angulos.

Ejemplo:



En este triangulo faltan las medidas de a y b :
Para encontrar la medida de b podemos utilizar el coseno.
Para encontrar a podemos utizar seno:

Razones trigonometricas de angulos y radianes

Circulo unitario:

La ecuacion que esta a la dercha es la ecuacion del circulo unitario. Mediante este circulo se hace esta tabla.

Angulos en posición estandar

Un angulo en una posicion estandar si se dibuja en el plano xy con su vertice en el origen y su lado inicial en eje x positivo.

Ejemplo: 

 Es importante saber que dos angulos son coterminales si coinciden sus lados. [ Comienzan y terminan en el mismo lado ]. Si va encontra de las manecillas del reloj es positivo.vSi va a favor de las manecillas del reloj es negativo.

Angulos coterminales:

-Para hallar angulos positivos que son coterminales con 0, su suma cualquier multipolo de 2π

-Para hallar angulos negativos que son coterminales, se resta cualquier multiplo de 2π

Converción de grados a radianes

 

Para tener cierta idea del tamaño de un radian: 1rad es aprox. 57.96 grados y 1 grado es aprox 0.01745

 

Funciones trigonometricas- Medida Angular

Las funciones angulares se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de numeros reales o como funciones de angulos. 

Un angulo de medida uno se forma al notar el lado inical 1/360 de una revolucion completa. El modo mas narural de medir angulos es en radidnes. La cantidad que se mide a lo largo del arco de un circulo de radio 1 con su centro en el vertice del angulo.

Angulo positivo: 

 

Angulo negativo:

 

La medida de un angulo es la cantidad de rotacion respecto al verticerequerido dpara mover R1 sobre R2. Esto ocurre cuando se abre un angulo.

Trigonometria de angulos rectos

 

 

las razones inversas también son:

 

 

Definicion de sen, cos, tan, csc, sec y ctg:

 

 

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa

 

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa

 

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente

 

4) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

 

 

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

 

 

6) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto

 

 

 

 

 

 

 

 

Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial.

 En nuestro mundo sabemos cuanta poblacion hay en el mundo, la tasa de de nacimiento y de muertes por años, como esta la economia.... etc.Sabemos todo esto gracias a los logaritmos que nos permiten facilitarnos calcucular el mundo. Esto por la formula de crecimiento esponencial y decaimiento exponencial.

Ley de enfriamiento de Newton

Leyes de los logaritmos

 Los logaritmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logaritmos. Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

Sea "a" un número positivo, con "a" no es igual a 1. Sean m>a, m>0, # cuales quiera entonces.

 

 

 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.                                                                                                                                   

 

 

 

 

 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 

 

                             

 

 

                                                                                                                   
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia. 

 

 

 

                                                                                                 

  

 

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.                                                                                                                                                                           

 

 

 

 

Bases y resultado igual da a 1:                                                                                                                                                

 

 

 

 

 Otras dos propiedades mas:

 

   

 

                                                 
                                                                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                                 

Importante:

                    

Función logarítmica

Debemos recordar que un loraritmo es una forma diferente de un expomente. Así, log a X  es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x .

 ejemplo:  

Comparacion de una función exponencial a una logarítmica:

 

Propiedades de logarítmos:

Propiedades de los logarímos naturales:

Cambio de bases:

Para hacer un cambio de base en un logarimo se divide el numero del logaritmo entre la bases del logaritmo:

Sea a un # positivo con a ≠ 1. La función logarítmica con base a denotaba por log a se define: